I numeri e le funzioni reali. Limiti di successioni e di funzioni;
funzioni continue. Derivate. Integrali. Equazioni differenziali del
primo e secondo ordine. Elementi di Probabilità e di Statistica. Elementi di Algebra lineare.
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di calcolo, Ed. Liguori P.
Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Ed.
Liguori. E. Ulivi, Dispense di esercizi, compiti di esame, probabilità e
statistica.
Obiettivi Formativi
Acquisizione degli strumenti e
delle conoscenze della Matematica, con particolare riguardo all'Analisi
Matematica elementare (funzioni di una variabile, limiti, derivate,
studio qualitativo di funzioni, integrali, equazioni differenziali). Acquisizione
delle conoscenze di base di algebra lineare, statistica e probabilità.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Gli studenti che
abbiano superato l'esame saranno in grado di rappresentare dati o
funzioni in forma grafica, analizzare una funzione, calcolare semplici
integrali, valutare la probabilita' di eventi, determinare il potere
predittivo di un test diagnostico.
Prerequisiti
Sono sufficienti le nozioni base di matematica e logica, che fanno parte dei programmi di ogni scuola media superiore.
Metodi Didattici
Lezioni frontali ed eventualmente lezioni a distanza, se rese necessarie dal protocollo anticontagio.
Altre Informazioni
Orario di ricevimento: da concordare con gli studenti. Recapito: Viale Morgagni, 65 - 50134 Firenze Tel: 055
4237483 Fax: 055 4237165
E-mail: elisabetta.ulivi@unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Esame scritto e orale.
L'esame scritto prevede la verifica della capacita' di applicare le nozioni acquisite durante il corso, nella soluzione di esercizi. Nell'esame orale lo studente dovra' mostrare di aver compreso le dimostrazioni svolte a lezione, ed essere in grado di esprimersi con un linguaggio tecnico adeguato.
Programma del corso
I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Insiemi Numerici. Cenni di teoria degli
insiemi. Concetto di funzione reale di variabile reale e sua
rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne.
Proprietà e grafici delle funzioni elementari (funzioni lineari, valore
assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni razionali, funzioni
trigonometriche e loro inverse). Metodi di risoluzione per equazioni e
disequazioni. Luoghi geometrici. LIMITI DI SUCCESSIONI E DI
FUNZIONI, FUNZIONI CONTI NUE. Definizione di limite di una successione.
Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teorema del confronto.
Successioni limitate. Limiti notevoli. Il numero e. Definizione di
limite di una funzione. Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti
notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Funzioni continue. Continuità delle
funzioni elementari. Proprietà. Classificazione delle discontinuità.
Massimi e minimi assoluti. Teoremi sulle funzioni continue: permanenza
del segno, esistenza degli zeri e dei valori intermedi, Teorema di
Weierstrass, criterio di invertibilità.
CALCOLO DIFFERENZIALE.
Definizione di derivata. Derivata della somma, del prodotto, del
quoziente. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Derivate delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al
grafico di una funzione. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e di Lagrange. Criterio di monotonia . Funzioni
convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Teorema di
L'Hopital. Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Studio del grafico
di una funzione.
CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale
definito secondo Riemann di una funzione continua in un intervallo.
Proprietà. Teorema della media. Primitive. Caratterizzazione delle
primitive di una funzione in un intervallo. Teorema fondamentale del
calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti.
Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti
e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Calcolo di
aree di figure piane. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni
differenziali del primo ordine: lineari, di Bernoulli, a variabili
separabili. Problema di Cauchy. Modello di crescita di una popolazione
isolata. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA.
Cenni di calcolo combinatorio. Eventi. Introduzione al concetto di
probabilità. Assiomi della probabilità. Probabilità condizionata,
Teorema di Bayes: test diagnostici. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie.
Distribuzione di probabilità, valor medio, varianza e deviazione
standard di una variabile aleatoria. Variabili aleatorie discrete:
distribuzione binomiale, distribuzione di Poisson. Variabili aleatorie
continue: distribuzione uniforme, distribuzione normale.
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE.
Matrici, determinanti, sistemi lineari.